Как сделать обработку событий не через CallbackQueryReceived а через Polling?

Иван, попробуйте такой вариант:
using Telegram.Bot;
using Telegram.Bot.Args;
using Telegram.Bot.Types.Enums;

var botClient = new TelegramBotClient("ВАШ_ТОКЕН");

// Начинаем получать обновления от Телеграма
await botClient.StartReceiving();

// Регистрация обработчиков
botClient.OnUpdate += OnUpdateReceived;

async void OnUpdateReceived(object sender, UpdateEventArgs e)
{
if (e.Update.Type != UpdateType.CallbackQuery)
return;

var callbackQuery = e.Update.CallbackQuery;
await botClient.AnswerCallbackQueryAsync(callbackQuery.Id);
await botClient.SendTextMessageAsync(
chatId: callbackQuery.Message.Chat,
text: $"Получено событие: {callbackQuery.Data}"
);
}